旁點、旁線、旁三角形、旁三邊形、旁圓

旁函數、旁點、旁線、旁三角形、旁三邊形、旁錐線、旁圓、旁拋物線、旁三次曲線

旁函數(exfunction)

三元函數f(a,b,c)的旁函數(exfunction)f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc的定義如下表：

三元函數的8旁函數系統
旁函數	值
f	f(a,b,c)
f_a	f(-a,b,c)
f_b	f(a,-b,c)
f_c	f(a,b,-c)
f_bc	f(a,-b,-c)
f_ca	f(-a,b,-c)
f_ab	f(-a,-b,c)
f_abc	f(-a,-b,-c)

旁函數系統(exfunction system)

以上函數f、f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc構成一旁函數系統(exfunction system)。請注意旁函數定義符合交換律及結合律，即f_ab=(f_a)_b=(f_b)_a=f_ba及f_(ab)c=(f_ab)_c=(f_a)_bc=f_a(bc)，以及所有元素的秩為2，即(f_a)_a=f。因此所有旁函數變換形成一個最多8個元素的交換變換群，所有的元素秩為2。故其元素個數只有8、4、2、1四種可能，而且分別是一個8、4、2、1函數的變換群，分別稱為8、4、2、1旁函數系統。

邊長旁函數(side length exfunction)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則旁函數稱為邊長旁函數(side length exfunction)。除了特別註明，旁函數指的是邊長旁函數。

面積旁函數(area exfunction)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，則面積旁函數(area exfunction)f_△(a,b,c,△)=f(a,b,c,-△)。例如f(a,b,c,△)=a+

2△

b+c-a

，則f_△(a,b,c,△)=a-

2△

b+c-a

。

旁函數八重組(exfunction octuple)

如果旁函數系統f、f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc有8個元素，則稱為旁函數八重組(exfunction octuple)。例如半周長函數s(a,b,c)=

a+b+c

，則旁函數八重組如下表：

旁函數八重組

旁函數

值

a+b+c

s_abc=-s

-a-b-c

s_a

-a+b+c

s_bc=-s_a

a-b-c

s_b

a-b+c

s_ca=-s_b

-a+b-c

s_c

a+b-c

s_ab=-s_c

-a-b+c

例如內切圓半徑函數r=

△

，則旁函數八重組如下表：

旁函數八重組

旁函數

值

△

r_abc=-r

△

s_abc

△

r_a

△

s_a

r_bc=-r_a

△

s_bc

△

s_a

r_b

△

s_b

r_ca=-r_b

△

s_ca

△

s_b

r_c

△

s_c

r_ab=-r_c

△

s_ab

△

s_c

旁函數四重組(exfunction quadruple)

如果旁函數系統f、f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc只有4個元素，則稱為旁函數四重組(exfunction quadruple)。有三種情況，一是f=f_a(或f_b、f_c)，則f_b=f_ab、f_c=f_ca、f_bc=f_abc，稱為a-旁函數四重組。例如f(a,b,c)=b+c，則旁函數四重組如下表：

a-旁函數四重組
旁函數	值
f=f_a	b+c
f_bc=f_abc	-b-c
f_b=f_ab	-b+c
f_c=f_ca	b-c

二是f=f_bc(或f_ca、f_ab)，則f_a=f_abc、f_b=f_c、f_ab=f_ca，稱為bc-旁函數四重組。例如f(a,b,c)=a(b+c)²，則旁函數四重組如下表：

bc-旁函數四重組
旁函數	值
f=f_bc	a(b+c)²
f_a=f_abc	-a(b+c)²
f_b=f_c	a(b-c)²
f_ab=f_ca	-a(b-c)²

三是f=f_abc，則f_a=f_bc、f_b=f_ca、f_c=f_ab，稱為abc-旁函數四重組。例如f(a,b,c)=a(b+c)，則旁函數四重組如下表：

abc-旁函數四重組
旁函數	值
f=f_abc	a(b+c)
f_a=f_bc	-a(b+c)
f_b=f_ca	a(-b+c)
f_c=f_ab	a(b-c)

內函數(infunction)

在旁函數八重組或旁函數四重組中，f是其他旁函數的內函數(infunction)。由於旁函數系統構成一個變換群，故任何一個函數是其他旁函數的內函數。例如abc-旁函數四重組中，f是f_a、f_b、f_c的內函數，而f_a也是f=(f_a)_a、f_c=(f_a)_b、f_b=(f_a)_c的內函數。

旁函數對(exfunction pair)

如果旁函數系統f、f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc只有2個元素，則稱為旁函數對(exfunction pair)。有三種情況，一是f=f_a(或f_b、f_c)=f_bc=f_abc，則f_b=f_c=f_ab=f_ca，稱為a-旁函數對。例如f(a,b,c)=(b+c)²，則旁函數四重組如下表：

a-旁函數對
旁函數	值
f=f_a=f_bc=f_abc	(b+c)²
f_b=f_c=f_ab=f_ca	(b-c)²

二是f=f_b=f_c(或=f_c=f_a、=f_a=f_b)=f_bc，則f_a=f_ab=f_ca=f_abc，稱為b,c-旁函數對。例如f(a,b,c)=a，則旁函數對如下表：

b,c-旁函數對
旁函數	值
f=f_b=f_c=f_bc	a
f_a=f_ab=f_ca=f_abc	-a

三是f=f_ab=f_bc=f_ca，則f_a=f_b=f_c=f_abc，稱為0-旁函數對。例如f(a,b,c)=abc，則旁函數對如下表：

0-旁函數對
旁函數	值
f=f_ab=f_bc=f_ca	abc
f_a=f_b=f_c=f_abc	-abc

例如外接圓半徑函數R=

abc

4△

，則旁函數對如下表：

0-旁函數對

旁函數

值

R=R_ab=R_bc=R_ca

abc

4△

R_a=R_b=R_c=R_abc

abc

4△

旁函數共軛(exfunction conjugate)

旁函數對的二個函數互為旁函數共軛(exfunction conjugate)。

邊長旁函數共軛(side length exfunction conjugate)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則旁函數共軛稱為邊長旁函數共軛(side length exfunction conjugate)。除了特別註明，旁函數共軛指的是邊長旁函數共軛。

面積旁函數共軛(area exfunction conjugate)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，稱f及f_△為面積旁函數共軛(area exfunction conjugate)。例如f(a,b,c,△)=f(a,b,c,△)=a+

2△

b+c-a

及f_△(a,b,c,△)=f(a,b,c,△)=a-

2△

b+c-a

。

不變函數(invariant function)

如果旁函數系統f、f_a、f_b、f_c、f_bc、f_ca、f_ab、f_abc只有1個元素，則稱為不變函數(invariant function)。通常出現在每項都是a,b,c的偶次方或其乘積。例如面積函數△(a,b,c)=

√((a²+b²+c²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴))

。

邊長不變函數(side length invariant function)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則不變函數稱為邊長不變函數(side length invariant function)。除了特別註明，不變函數指的是邊長不變函數。有時不變函數指的不是對三邊長a,b,c同時不變，而只對某一邊或某兩邊不變。如果f=f_a，則稱為a-不變函數。f=f_b=f_c，則稱為b,c-不變函數。

面積不變函數(area invariant function)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，稱為面積不變函數(area invariant function)。例如半周長函數s(a,b,c)=

a+b+c

。

旁函數運算(exfunction operation)

旁函數可以做運算，加、減、乘、除、乘方、方根。旁函數系統運算如下表：

三元函數的8旁函數系統運算
加減法	乘法	除法	乘方	方根
(f±g)_a=f_a±g_a	(f×g)_a=f_a×g_a	(f/g)_a=f_a/g_a	(fⁿ)_a=(f_a)ⁿ	(ⁿ√f)_a=ⁿ√(f_a)
(f±g)_b=f_b±g_b	(f×g)_b=f_b×g_b	(f/g)_b=f_b/g_b	(fⁿ)_b=(f_b)ⁿ	(ⁿ√f)_b=ⁿ√(f_b)
(f±g)_c=f_c±g_c	(f×g)_c=f_c×g_c	(f/g)_c=f_c/g_c	(fⁿ)_c=(f_c)ⁿ	(ⁿ√f)_c=ⁿ√(f_c)
(f±g)_bc=f_bc±g_bc	(f×g)_bc=f_bc×g_bc	(f/g)_bc=f_bc/g_bc	(fⁿ)_bc=(f_bc)ⁿ	(ⁿ√f)_bc=ⁿ√(f_bc)
(f±g)_ca=f_ca±g_ca	(f×g)_ca=f_ca×g_ca	(f/g)_ca=f_ca/g_ca	(fⁿ)_ca=(f_ca)ⁿ	(ⁿ√f)_ca=ⁿ√(f_ca)
(f±g)_ab=f_ab±g_ab	(f×g)_ab=f_ab×g_ab	(f/g)_ab=f_ab/g_ab	(fⁿ)_ab=(f_ab)ⁿ	(ⁿ√f)_ab=ⁿ√(f_ab)
(f±g)_abc=f_abc±g_abc	(f×g)_abc=f_abc×g_abc	(f/g)_abc=f_abc/g_abc	(fⁿ)_abc=(f_abc)ⁿ	(ⁿ√f)_abc=ⁿ√(f_abc)

奇偶旁函數(odd or even exfunction)

如果f_a(或f_b、f_c)=-f或f，則稱為a-奇或偶旁函數。如果f_b=f_c(或f_c=f_a、f_a=f_b)=-f或f，則稱為b,c-奇或偶旁函數。如果f_bc(或f_ca、f_ab)=-f或f，則稱為bc-奇或偶旁函數。如果f_ca=f_ab(或f_ab=f_bc、f_bc=f_ca)=-f或f，則稱為ca,ab-奇或偶旁函數。如果f_abc=-f或f，則稱為abc-奇或偶旁函數。例如函數請注意，奇偶旁函數的運算規則如下表：

奇偶旁函數的運算規則
加減法	乘法	除法	乘方
偶±偶=偶	偶×偶=偶	偶/偶=偶	偶^偶數=偶
奇±奇=奇	奇×奇=偶	奇/奇=偶	奇^奇數=奇
偶±奇=?	偶×奇=奇	偶/奇=奇	偶^奇數=偶
奇±偶=?	奇×偶=奇	奇/偶=奇	奇^偶數=偶

奇偶邊長旁函數(odd or even side length exfunction)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則奇偶旁函數稱為奇偶邊長旁函數(odd or even side length exfunction)。除了特別註明，奇偶旁函數指的是奇偶邊長旁函數，尤其是abc-奇或偶旁函數。

奇偶面積旁函數(odd or even area exfunction)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，稱為奇偶面積旁函數(odd or even area exfunction)。例如外接圓半徑函數R=

abc

4△

，R_△=-

abc

4△

點與線的對偶(duality of point and line)

三線或重心坐標中，點寫成p:q:r或(p,q,r)，直線方程式lx+my+nz=0寫成l:m:n或(l,m,n)。如果lp+mq+nr或(l,m,n)⋅(p,q,r)=0(可交換)，則點p:q:r在直線l:m:n上或直線l:m:n通過點p:q:r。兩點或兩直線l:m:n及p:q:r的連線或交點都是(mr-nq):(np-lr):(lq-mp)或(l,m,n)⨯(p,q,r)(可交換)。三點或三線(l,m,n),(p,q,r),(x,y,z)共線或共點的充要條件都是行列式或(l,m,n)⨯(p,q,r)⋅(x,y,z)=0(可任意排列)。點或直線p:q:r的極線或極點為1/p:1/q:1/r。

旁點(expoint)、旁線(exline)

如果三角形的某點X或某直線L的重心坐標是由三元函數f(a,b,c)、g(a,b,c)、h(a,b,c)所定義，即X或L=f:g:h。另外X的旁點(expoint)X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或L的旁線(exline)L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc的定義如下表：

8旁點或旁線系統的重心坐標
點	直線	重心坐標
X	L	f:g:h
X_a	L_a	f_a:g_a:h_a
X_b	L_b	f_b:g_b:h_b
X_c	L_c	f_c:g_c:h_c
X_bc	L_bc	f_bc:g_bc:h_bc
X_ca	L_ca	f_ca:g_ca:h_ca
X_ab	L_ab	f_ab:g_ab:h_ab
X_abc	L_abc	f_abc:g_abc:h_abc

如果X或L是由f循環定義的，即X或L=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)。通常將坐標簡記成[f(a,b,c)]或[f]。

旁點系統(expoint system)、旁線系統(exline system)

以上點X、X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或直線L、L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc構成一旁點系統(expoint system)或旁線系統(exline system)。請注意旁點及旁線定義符合交換律及結合律，即X_ab=(X_a)_b=(X_b)_a=X_ba及X_(ab)c=(X_ab)_c=(X_a)_bc=X_a(bc)，以及所有元素的秩為2，即(X_a)_a=X。因此所有旁點及旁線變換形成一個最多8個元素的交換變換群，所有的元素秩為2。故其元素個數只有8、4、2、1四種可能，而且分別是一個8、4、2、1點或直線的變換群，分別稱為8、4、2、1旁點或旁線系統。

邊長旁點(side length expoint)、邊長旁線(side length exline)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則旁點或旁線稱為邊長旁點(side length expoint)或邊長旁線(side length exline)。除了特別註明，旁點或旁線指的是邊長旁點或旁線。

面積旁點(area expoint)、面積旁線(area exline)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，則點X或直線L=f:g:h的面積旁點(area expoint)X_△或面積旁線(area exline)L_△=f_△:g_△:h_△。例如內Soddy圓心X(176)=[a+2△/(b+c-a)]，則外Soddy圓心X(176)_△=X(175)=[a-2△/(b+c-a)]。邊長旁點或旁線與面積旁點或旁線可以互相搭配，最多可以造成8旁點或旁線系統。例如外及內Soddy圓心各有4個邊長旁點。

旁點八重組(expoint octuple)、旁線八重組(exline octuple)

如果旁點系統X、X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或旁線系統L、L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc有8個元素，則稱為旁點八重組(expoint octuple或旁線八重組(exline octuple)。在研究三角形的心很少遇到，不便舉例。

旁點四重組(expoint quadruple)、旁線四重組(exline quadruple)

如果旁點系統X、X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或旁線系統L、L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc只有4個元素，則稱為旁點四重組(expoint quadruple)或旁線四重組(exline quadruple)。有三種情況，一是X=X_a(或X_b、X_c)，則X_b=X_ab、X_c=X_ca、X_bc=X_abc，稱為a-旁點四重組。二是X=X_bc(或X_ca、X_ab)，則X_a=X_abc、X_b=X_c、X_ab=X_ca，稱為bc-旁點四重組。這兩種情況在研究三角形的心很少遇到，不便舉例。三是X=X_abc，則X_a=X_bc、X_b=X_ca、X_c=X_ab，稱為abc-旁點四重組。同樣可以定義a-旁線四重組、bc-旁線四重組、abc-旁線四重組。例如Nagel點X(8)=Gergonne線L(55)=s_a:s_b:s_c，則旁點及旁線四重組如下表：

Nagel點X(8)及Gergonne線L(55)的abc-旁點及旁線四重組(旁點四角形及旁線四邊型)的重心坐標
點	直線	重心坐標
X(8)	L(55)	s_a:s_b:s_c
X(8)_a	L(55)_a	s:-s_c:-s_b
X(8)_b	L(55)_b	-s_c:s:-s_a
X(8)_c	L(55)_c	-s_b:-s_a:s

旁點三重組(expoint triple)、旁線三重組(exline triple)

旁點或旁線四重組中的任三個元素稱為旁點三重組(expoint triple)或旁線三重組(exline triple)。

內點(inpoint)、內線(inline)

在旁點或旁線八重組或旁點或旁線四重組中，X或L是其他旁點或旁線的內點(inpoint)或內線(inline)。由於旁點或旁線系統構成一個變換群，故任何一個點或直線數是其他旁點或旁線的內點或內線。例如abc-旁點四重組中，X是X_a、X_b、X_c的內點，而X_a也是X=(X_a)_a、X_c=(X_a)_b、X_b=(X_a)_c的內點。

旁點四角形(expoint quadrangle)、旁線四邊形(exline quadrilateral)

旁點或旁線四重組所構成完全四角形或完全四邊形稱為旁點四角形(expoint quadrangle)或旁線四邊形(exline quadrilateral)。例如上面所述的Nagel點X(8)及Gergonne線L(55)的abc-旁點及旁線四重組。

旁點三角形(expoint triangle)、旁線三邊形(exline trilateral)

旁點四角形或旁線四邊形中的任三點或任三線所形成的三角形或三邊形稱為旁點三角形(expoint triangle)或旁線三邊形(exline trilateral)。例如內心X(1)的旁點三角形就是旁心三角形X(1)_aX(1)_bX(1)_c。L(31)的旁線三邊形就是三邊形L(31)_aL(31)_bL(31)_c。

內心X(1)及L(31)的abc-旁點及旁線四重組(旁點四角形及旁線四邊型)的重心坐標
點	直線	重心坐標
X(1)	L(31)	a:b:c
X(1)_a	L(31)_a	-a:b:c
X(1)_b	L(31)_b	a:-b:c
X(1)_c	L(31)_c	a:b:-c

旁點拋物線對(expoint parabola pair)、旁線拋物線對(exline parabola pair)

過旁點四角形的頂點或切旁線四邊形的邊的一對拋物線稱為旁點拋物線對(expoint parabola pair)或旁線拋物線對(exline parabola pair)。

共圓旁點(concyclic expoints)、共圓旁線(concyclic exlines)

如果一圓過旁點四角形的頂點或切旁線四邊形的邊，則頂點或邊為共圓旁點(concyclic expoints)或共圓旁線(concyclic exlines)。例如九點圓過Feuerbach點X(11)及旁點X(11)_a、X(11)_b、X(11)_c(分別是九點圓與內切圓及旁切圓的切點)：

Feuerbach點X(11)的abc-旁點四重組(旁點圓)的重心坐標
點	重心坐標
X(11)	s_a(b-c)²:s_b(c-a)²:s_c(a-b)²
X(11)_a	s(b-c)²:-s_c(c+a)²:-s_b(a+b)²
X(11)_b	-s_c(b+c)²:s(c-a)²:-s_a(a+b)²
X(11)_c	-s_b(b+c)²:-s_a(c+a)²:s(a-b)²

旁點圓(expoint circle)或旁線圓(exline circle)

上述的圓稱為旁點圓(expoint circle)、旁線圓(exline circle)。例如九點圓。

共線旁點(collinear expoints)、共點旁線(concurrent exlines)

共線或共點的旁點或旁線四重組稱為共線旁點(collinear expoints)或共點旁線(concurrent exlines)。例如X(514)=Nagel線L(649)=b-c:c-a:a-b，則旁點及旁線四重組如下表：

X(514)及Nagel線L(649)的abc-旁點及旁線四重組(旁點軸及旁線心)的重心坐標
點	直線	重心坐標
X(514)	L(649)	b-c:c-a:a-b
X(514)_a	L(649)_a	b-c:c+a:-a-b
X(514)_b	L(649)_b	-b-c:c-a:a+b
X(514)_c	L(649)_c	b+c:-c-a:a-b

旁點軸(expoint axis)、旁線心(exline center)

上述的直線或點稱為旁點軸(expoint axis)或旁線心(exline center)。例如上述的旁點軸或旁線心是無窮遠線L(6)及重心X(2)。

旁點對(expoint pair)、旁線對(exline pair)

如果旁點系統X、X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或旁線系統L、L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc只有2個元素，則稱為旁點對(expoint pair)或旁線對(exline pair)。有三種情況，一是X=X_a(或X_b、X_c)=X_bc=X_abc，則X_b=X_c=X_ab=X_ca，稱為a-旁點對。例如角A平分線L和邊a的交點X，則旁點及旁線對如下表：

角A平分線L和邊a的交點X的a-旁點及旁線對的重心坐標
點	直線	重心坐標
內角X=X_a=X_bc=X_abc	外角L_b=L_c=L_ab=L_ca	0:b:c
外角X_b=X_c=X_ab=X_ca	內角L=L_a=L_bc=L_abc	0:b:-c

二是X=X_b=X_c(或=X_c=X_a、=X_a=X_b)=X_bc，則X_a=X_ab=X_ca=X_abc，稱為b,c-旁點對。三是X=X_ab=X_bc=X_ca，則X_a=X_b=X_c=X_abc，稱為0-旁函數對。這兩種情況在研究三角形的心很少遇到，不便舉例。

旁點共軛(expoint conjugate)、旁線共軛(exline conjugate)

旁點或旁線對的二個點或直線互為旁點共軛(expoint conjugate)或旁線共軛(exline conjugate)。

邊長旁點共軛(side length expoint conjugate)、邊長旁線共軛(side length exline conjugate)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則旁點或旁線共軛稱為邊長旁點共軛(side length expoint conjugate)或邊長旁線共軛(side length exline conjugate)。除了特別註明，旁點或旁線共軛指的是邊長旁點或旁線共軛。

面積旁點共軛(area expoint conjugate)、面積旁線共軛(area exline conjugate)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，稱X及X_△或L及L_△為面積旁點共軛(area expoint conjugate)或面積旁線共軛(area exline conjugate)。例如內Soddy圓心X(176)=[a+2△/(b+c-a)]及外Soddy圓心X(176)_△=X(175)=[a-2△/(b+c-a)]。

旁點對連線(line through expoint pair)、旁線對交點(point of intersection of exline pair)

例如內外Soddy圓心的連線稱為Soddy線。

不變點(invariant point)、不變線(invariant line)

如果旁點系統X、X_a、X_b、X_c、X_bc、X_ca、X_ab、X_abc或旁線系統L、L_a、L_b、L_c、L_bc、L_ca、L_ab、L_abc只有1個元素，則稱為不變點(invariant point)或不變線(invariant line)。通常出現在每項都是a,b,c的偶次方或其乘積。例如類似重心X(6)=de Longchamps線L(32)=[a²]。

邊長不變點(side length invariant point)、邊長不變線(side length invariant line)

如果a,b,c是三角形的三邊長，則不變點或不變線稱為邊長不變函數邊長不變點(side length invariant point)或邊長不變線(side length invariant line)。除了特別註明，不變點或線指的是邊長不變點或線。有時不變點或線指的不是對三邊長a,b,c同時不變，而只對某一邊或某兩邊不變。如果X=X_a，則稱為a-不變點。X=X_b=X_c，則稱為b,c-不變點。

面積不變點(area invariant point)、面積不變線(area invariant line)

有時自變數不只是三邊長，還包含面積變數△，稱為面積不變點(area invariant point)或面積不變線(area invariant line)。例如X(514)=Nagel線L(649)=b-c:c-a:a-b。

旁圖形(exshape)、正規圖形(regular shape)、正規點(regular point)、正規線(regular line)

如果S₁、S₂、S₃…S_n都是正規圖形(regular shape)而且滿足某種關係，則旁圖形(exshape)(S₁)_a、(S₂)_a、(S₃)_a…(S_n)_a及(S₁)_b、(S₂)_b、(S₃)_b…(S_n)_b及(S₁)_c、(S₂)_c、(S₃)_c…(S_n)_c等也滿足某種關係。例如正規點(regular point)X在正規線(regular line)L上，則X_a、X_b、X_c等分別在L_a、L_b、L_c等上。正規點的連線是正規線，正規線的交點是正規點。除了特別註明，圖形指的是正規圖形。

連線的旁線與旁點的連線(exline of line through points and line through expoints)、交點的旁點與旁線的交點(expoint of point of intersection of lines and point of intersection of exlines)

點X及Y的連線的旁線(exline of line through points)恰好是點X及Y的旁點的連線(line through expoints)，用符號表示即(XY)_a=X_aY_a，(XY)_b=X_bY_b，(XY)_c=X_cY_c等。直線L及M的交點的旁點(expoint of point of intersection of lines)恰好是直線L及M的旁線的交點(point of intersection of exlines)，用符號表示即(L∩M)_a=L_a∩M_a，(L∩M)_b=L_b∩M_b，(L∩M)_c=L_c∩M_c等。

在旁線上的旁點(invariant point on exline)、過旁點上的旁線(invariant line through expoint)

在旁線上的不變點(invariant point on exline)、過旁點上的不變線(invariant line through expoint)

旁點運算(expoint operation)、旁線運算(exline operation)

旁點或旁線可以做運算，加、減、乘、除、乘方、方根。如果X或L=f:g:h及Y或M=i:j:k。X+Y=L+M=f+i:g+j:h+k，X×Y=L×M=f×i:g×j:h×k等。旁點或旁線系統運算如下表：

8旁點或旁線系統運算
加減法	乘法	除法	乘方	方根
(X±Y)_a=X_a±Y_a	(X×Y)_a=X_a×Y_a	(X/Y)_a=X_a/Y_a	(Xⁿ)_a=(X_a)ⁿ	(ⁿ√X)_a=ⁿ√(X_a)
(X±Y)_b=X_b±Y_b	(X×Y)_b=X_b×Y_b	(X/Y)_b=X_b/Y_b	(Xⁿ)_b=(X_b)ⁿ	(ⁿ√X)_b=ⁿ√(X_b)
(X±Y)_c=X_c±Y_c	(X×Y)_c=X_c×Y_c	(X/Y)_c=X_c/Y_c	(Xⁿ)_c=(X_c)ⁿ	(ⁿ√X)_c=ⁿ√(X_c)
(X±Y)_bc=X_bc±Y_bc	(X×Y)_bc=X_bc×Y_bc	(X/Y)_bc=X_bc/Y_bc	(Xⁿ)_bc=(X_bc)ⁿ	(ⁿ√X)_bc=ⁿ√(X_bc)
(X±Y)_ca=X_ca±Y_ca	(X×Y)_ca=X_ca×Y_ca	(X/Y)_ca=X_ca/Y_ca	(Xⁿ)_ca=(X_ca)ⁿ	(ⁿ√X)_ca=ⁿ√(X_ca)
(X±Y)_ab=X_ab±Y_ab	(X×Y)_ab=X_ab×Y_ab	(X/Y)_ab=X_ab/Y_ab	(Xⁿ)_ab=(X_ab)ⁿ	(ⁿ√X)_ab=ⁿ√(X_ab)
(X±Y)_abc=X_abc±Y_abc	(X×Y)_abc=X_abc×Y_abc	(X/Y)_abc=X_abc/Y_abc	(Xⁿ)_abc=(X_abc)ⁿ	(ⁿ√X)_abc=ⁿ√(X_abc)

內心X(1)的旁點四角形的Fano三角形洽好是ABC本身。

Nagel點X(8)的旁點四角形的Fano三角形洽好是ABC的反補三角形。

以X(649)為例，重心坐標函數f(a,b,c)=a²(b-c)。則X(649)的abc-4旁點系統的重心坐標分別如下表：

X(649)的abc-4旁點系統(旁點線)的重心坐標
點	重心坐標
X(649)	a²(b-c):b²(c-a):c²(a-b)
X(649)_a	a²(b-c):b²(c+a):-c²(a+b)
X(649)_b	-a²(b+c):b²(c-a):c²(a+b)
X(649)_c	a²(b+c):-b²(c+a):c²(a-b)

X(649)的旁點線洽好是L(2)，X(6)的極線。

以內切圓與邊a的切點X為例，X_a、X_b、X_c分別是邊a、b、c上的旁切圓與邊a的切點。此abc-4旁點系統的重心坐標分別如下表：

內切圓與邊a(旁點線)的切點X的abc-4旁點系統的重心坐標
點	重心坐標
X	0:1/s_b:1/s_c
X_a	0:-1/s_c:-1/s_b
X_b	0:1/s:-1/s_a
X_c	0:-1/s_a:1/s

反垂足軸L(1)的旁線四邊形的Fano三邊形洽好是ABC本身。

Gergonne線L(55)的旁線四邊形的Fano三邊形洽好是ABC的中點三邊形。

Nagel線L(649)的旁線點洽好是重心X(2)。

旁三角形(extriangle)、旁三邊形(extrilateral)

邊長旁三角形(side length extriangle)、邊長旁三邊形(side length extrilateral)

面積旁三角形(area extriangle)、面積旁三邊形(area extrilateral)

旁三角形系統(extriangle system)、旁三邊形系統(extrilateral system)

旁三角形八重組(extriangle octuple)、旁三邊形八重組(extrilateral octuple)

旁三角形四重組(extriangle quadruple)、旁三邊形四重組(extrilateral quadruple)

跟旁點系統一樣，可以得到旁三角形系統(extriangles system)，8、4、2的旁三角形系統都存在。注意，8、4、2的旁三角形系統不都是分別從8、4、2的旁點系統而來的。例如，三組2旁點系統X=X_a、X_b=X_c，Y=Y_b、Y_c=Y_a，Z=Z_c、Z_a=Z_b可以組成4旁三角形系統(4 extriangles system)，XYZ=(XYZ)_abc，(XYZ)_a=(XYZ)_bc=XY_aZ_a，(XYZ)_b=(XYZ)_ca=X_bYZ_b，(XYZ)_c=(XYZ)_ab=X_cY_cZ。X及Y無旁點，Z有4旁點，則可定義出XYZ的4旁三角形。與旁點系統一樣，一樣有abc-4旁三角形系統(abc-4 extriangles system)，a-4旁三角形系統(a-4 extriangles system)，bc-4旁三角形系統(bc-4 extriangles system)。一樣，除了特別註明，4旁三角形系統指的是abc-4旁三角形系統。XYZ，(XYZ)_a，(XYZ)_b，(XYZ)_c為4旁三角形系統，稱(XYZ)_a，(XYZ)_b，(XYZ)_c為XYZ的旁三角形三重組(extriangles triple)，XYZ為(XYZ)_a，(XYZ)_b，(XYZ)_c的內三角形(intriangle)。例如XYZ為內切點三角形或內切線三角形，其旁三角形的重心坐標分別如下表：

旁切點三角形XYZ的abc-4旁三角形系統的重心坐標
三角形	重心坐標
XYZ	0:s_b:s_c	s_a:0:s_c	s_a:s_b:0
(XYZ)_a	0:-s_c:-s_b	s:0:-s_b	s:-s_c:0
(XYZ)_b	0:s:-s_a	-s_c:0:-s_a	-s_c:s:0
(XYZ)_c	0:-s_a:s	-s_b:0:s	-s_b:-s_a:0

內切線三角形XYZ的abc-4旁三角形系統的重心坐標
三角形	重心坐標
XYZ	a²s_a:bs_b(c-a):-cs_c(a-b)	-as_a(b-c):b²s_b:cs_c(a-b)	as_a(b-c):-bs_b(c-a):c²s_c
(XYZ)_a	a²s:-bs_c(c+a):-cs_b(a+b)	as(b-c):-b²s_c:cs_b(a+b)	-as(b-c):bs_c(c+a):-c²s_b
(XYZ)_b	-a²s_c:-bs(c-a):cs_a(a+b)	-as_c(b+c):b²s:-cs_a(a+b)	as_c(b+c):bs(c-a):-c²s_a
(XYZ)_c	-a²s_b:bs_a(c+a):cs(a-b)	as_b(b+c):-b²s_a:-cs(a-b)	-as_b(b+c):-bs_a(c+a):c²s

旁三角形三重組(extriangle triple)、旁三邊形三重組(extrilateral triple)

內三角形(intriangle)、內三邊形(intrilateral)

旁點三角形四重組(expoint triangle quadruple)、旁線三邊形四重組(exline trilateral quadruple)

旁點三角形三重組(expoint triangle triple)、旁線三邊形三重組(exline trilateral triple)

內點三角形(inpoint triangle)、內線三邊形(inline trilateral)

旁三角形對(extriangle pair)、旁三邊形對(extrilateral pair)

旁三角形共軛(extriangle conjugate)、旁三邊形共軛(extrilateral conjugate)

a,b,c-旁三角形共軛(a,b,c-extriangle conjugate)、a,b,c-旁三邊形共軛(a,b,c-extrilateral conjugate)

2旁三角形系統(2 extriangles system)亦稱旁三角形對(extriangles pair)，一樣也有旁三角形共軛(extriangle conjugate)。旁三角形對還有一種可能，稱為a,b,c旁三角形(a,b,c extriangle)，即(XYZ)_a,b,c=X_aY_bZ_c。注意，(XYZ)_a,b,c與(XYZ)_abc完全不同。這種旁三角形對最常出現在循環定義的三角形，即存在三個a、b、c的重心坐標函數f_a、f_b、f_c，三角形XYZ的重心坐標如下表：

循環定義的三角形XYZ的重心坐標
頂點	重心坐標
X	f_a(a,b,c):f_b(a,b,c):f_c(a,b,c)
Y	f_c(b,c,a):f_a(b,c,a):f_b(b,c,a)
Z	f_b(c,a,b):f_c(c,a,b):f_a(c,a,b)

三個重心坐標函數常見由兩個重心坐標函數所構成，即有兩個函數f和g，使得f_a(a,b,c)=f(a,b,c)、f_b(a,b,c)=g(a,c,b)、f_c(a,b,c)=g(a,b,c)。注意，函數f和g可能滿足對稱性，即f(a,b,c)=f(a,c,b)，g(a,b,c)=g(a,c,b)。則上面各點的重心坐標如下表：

由雙函數循環定義的三角形XYZ的重心坐標
頂點	重心坐標
X	f(a,b,c):g(a,c,b):g(a,b,c)
Y	g(b,c,a):f(b,c,a):g(b,a,c)
Z	g(c,b,a):g(c,a,b):f(c,a,b)

以旁切點三角形及內切點三角形為例，重心坐標函數f(a,b,c)=0，g(a,b,c)=a+b-c(旁切點三角形)或c+a-b(內切點三角形)。旁切點三角形及內切點三角形是由雙函數f和g循環定義的三角形，而且它們是a,b,c旁三角形。

由雙函數循環定義的旁切點三角形XYZ的重心坐標
頂點	重心坐標
X	0:s_b:s_c
Y	s_a:0:s_c
Z	s_a:s_b:0

由雙函數循環定義的內切點三角形XYZ的重心坐標
頂點	重心坐標
X	0:s_c:s_b
Y	s_c:0:s_a
Z	s_b:s_a:0

a,b,c旁三角形旁切點三角形XYZ與內切點三角形X_aY_bZ_c的重心坐標
三角形	重心坐標
旁切點三角形XYZ	0:s_b:s_c	s_a:0:s_c	s_a:s_b:0
內切點三角形X_aY_bZ_c	0:s_c:s_b	s_c:0:s_a	s_b:s_a:0

以外切線三角形及內切線三角形為例，重心坐標函數f(a,b,c)=-a²(a+b+c)(外切線三角形)或a²(b+c-a)(內切線三角形)，g(a,b,c)=c(a+b)(c+a-b)(外切線三角形)或-c(a-b)(a+b-c)(內切線三角形)。外切線三角形及內切線點三角形是由雙函數f和g循環定義的三角形，而且它們是a,b,c旁三角形。

由雙函數循環定義的外切線三角形XYZ的重心坐標
頂點	重心坐標
X	-a²s:bs_c(c+a):cs_b(a+b)
Y	as_c(b+c):-b²s:cs_a(a+b)
Z	as_b(b+c):bs_a(c+a):-c²s

由雙函數循環定義的內切線三角形X_aY_bZ_c的重心坐標
頂點	重心坐標
X_a	a²s_a:bs_b(c-a):-cs_c(a-b)
Y_b	-as_a(b-c):b²s_b:cs_c(a-b)
Z_c	as_a(b-c):-bs_b(c-a):c²s_c

a,b,c旁三角形外切線三角形XYZ與內切線三角形X_aY_bZ_c的重心坐標
三角形	重心坐標
外切線三角形XYZ	-a²s:bs_c(c+a):cs_b(a+b)	as_c(b+c):-b²s:cs_a(a+b)	as_b(b+c):bs_a(c+a):-c²s
內切線三角形X_aY_bZ_c	a²s_a:bs_b(c-a):-cs_c(a-b)	-as_a(b-c):b²s_b:cs_c(a-b)	as_a(b-c):-bs_b(c-a):c²s_c

邊長旁三角形共軛(side length extriangle conjugate)、邊長旁三邊形共軛(side length extrilateral conjugate)

面積旁三角形共軛(area extriangle conjugate)、面積旁三邊形共軛(area extrilateral conjugate)

不變三角形(invariant triangle)、不變三邊形(invariant trilateral)

邊長不變三角形(side length invariant triangle)、邊長不變三邊形(side length invariant trilateral)

面積不變三角形(area invariant triangle)、面積不變三邊形(area invariant trilateral)

旁三角形運算(extriangle operation)、旁三邊形運算(extrilateral operation)

稱由三個頂點X、Y、Z構成的三角形XYZ及三條邊線L、M、N構成的三邊形LMN是等價的，如果YZ=L，ZX=M，XY=N及M∩N=X，N∩L=Y，L∩M=Z。定義XYZ對邊a的旁三角形(extriangle)是由X、Y、Z分別對邊a的旁點所構成的三角形，即(XYZ)_a=X_aY_aZ_a，以及LMN對邊a的旁三邊形(extrilateral)是由L、M、N分別對邊a的旁線所構成的三邊形，即(LMN)_a=L_aM_aN_a。則根據旁點旁線的定義，X_aY_aZ_a及L_aM_aN_a是等價的，同理對邊b、c來說也是等價的。因此，不區別三角形與三邊形，也不區別旁三角形與旁三邊形，通常只討論三角形的情況。

點集合的連線(lines through point sets)、線集合的交點(points of intersection of line sets)

點集合的透視(perspectivity of point sets)、線集合的透視(perspectivity of line sets)

點集合的透視心(perspective center of point sets)、線集合的透視軸(perspective axis of line sets)

旁三角形與不變三角形的透視(perspectivity of extriangle and invariant triangle)、旁三邊形與不變三邊形的透視(perspectivity of extrilateral and invariant trilateral)

旁點四角形與不變三角形的透視(perspectivity of expoint quadrangle and invariant triangle)、旁線四邊形與不變三邊形的透視(perspectivity of exline quadrilateral and invariant trilateral)

對於不變三角形旁點四角形的透視共軛(perspective conjugate of expoint quadrangles with respect to an invariant triangle)、對於不變三邊形旁線四邊形的透視共軛(perspective conjugate of exline quadrilaterals with respect to an invariant trilateral)

完全四角形的Fano點(Fano point of complete quadrangle)、完全四邊形的Fano線(Fano line of complete quadrilateral)

完全四角形的Fano三角形(Fano triangle of complete quadrangle)、完全四邊形的Fano三邊形(Fano trilateral of complete quadrilateral)

旁點四角形的Fano點(Fano point of expoint quadrangle)、旁線四邊形的Fano線(Fano line of exline quadrilateral)

旁點四角形的Fano三角形(Fano triangle of expoint quadrangle)、旁線四邊形的Fano三邊形(Fano trilateral of exline quadrilateral)

對於三角形點的Ceva三角形(Cevian triangle of point with respect to triangle)、對於三邊形線的Ceva三邊形(Cevian trilateral of line with respect to trilateral)

對於旁三角形旁點的Ceva旁三角形(Cevian extriangle of expoint with respect to extriangle)、對於旁三邊形旁線的Ceva旁三邊形(Cevian extrilateral of exline with respect to extrilral)

完全四角形的自極線完全四邊形(autopolar complete quadrilateral of complete quadrangle)、完全四邊形的自極點完全四角形(autopole complete quadrangle of complete quadrilateral)

旁點四角形的自極線旁線四邊形(autopolar exline quadrilateral of expoint quadrangle)、旁線四邊形的自極點旁點四角形(autopole expoint quadrangle of exline quadrilateral)

對於完全四角形點的調和共軛(harmonic conjugacy of points with respect to a complete quadrangle)、對於完全四邊形線的調和共軛(harmonic conjugacy of lines with respect to a complete quadrilateral)

對於旁點四角形點的調和共軛(harmonic conjugacy of points with respect to an expoint quadrangle)、對於旁線四邊形線的調和共軛(harmonic conjugacy of lines with respect to an exline quadrilateral)

過完全四角形的Fano點的錐線與直線的一對一對應(one to one correspondence between conics through Fano points of a complete quadrangle and lines)、切完全四邊形的Fano線的錐線與點的一對一對應(one to one correspondence between conics tangent to Fano lines of a complete quadrilateral and points)

過旁點四角形的Fano點的錐線與直線的一對一對應(one to one correspondence between conics through Fano points of an expoint quadrangle and lines)、切旁線四邊形的Fano線的錐線與點的一對一對應(one to one correspondence between conics tangent to Fano lines of an exline quadrilateral and points)

旁點四角形與旁三角形的透視(perspectivity of expoint quadrangle and extriangles)、旁線四邊形與旁三邊形的透視(perspectivity of exline quadrilateral and extrilaterals)

對於旁三角形旁點四角形的透視共軛(perspective conjugate of expoint quadrangles with respect to extriangles)、對於旁三邊形旁線四邊形的透視共軛(perspective conjugate of exline quadrilaterals with respect to extrilaterals)

旁點四角形的透視(perspectivity of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視(perspectivity of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視旁線(perspective exline of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視旁點(perspectivite expoint of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視旁線四邊形(perspective exline quadrilateral of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視旁點四角形(perspectivite expoint quadrangle of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視旁線四邊形的Fano線(Fano line of perspective exline quadrilateral of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視旁點四角形的Fano點(Fano point of perspectivite expoint quadrangle of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視旁線四邊形的Fano三邊形(Fano trileteral of perspective exline quadrilateral of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視旁點四角形的Fano三角形(Fano triangle of perspectivite expoint quadrangle of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視旁線四邊形的對偶旁點四角形(dual expoint quadrangle of perspective exline quadrilateral of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視旁點四角形的對偶旁線四邊形(dual exline quadrilateral of perspective expoint quadrangle of exline quadrilaterals)

旁點四角形的透視(旁線)心(perspective (exline) center of expoint quadrangles)、旁線四邊形的透視(旁點)軸(perspective (expoint) axis of exline quadrilaterals)

旁錐線(exconic)、旁心(excenter)、透視旁心(perspective excenter)

旁錐線系統(exconic system)、旁心系統(excenter system)、透視旁心系統(perspective excenter system)

邊長旁錐線(side length exconic)、邊長旁心(side length excenter)、邊長透視旁心(side length perspective excenter)

面積旁錐線(area exconic)、面積旁心(area excenter)、面積透視旁心(area perspective excenter)

旁錐線四重組(exconic quadruple)、旁心四重組(excenter quadruple)、透視旁心四重組(perspective excenter quadruple)

旁錐線三重組(exconic triple)、旁心三重組(excenter triple)、透視旁心三重組(perspective excenter triple)

內錐線(inconic)、內心(incenter)、透視內心(perspective incenter)

旁錐線對(exconic pair)、旁心對(excenter pair)、透視旁心對(perspective excenter pair)

旁錐線共軛(exconic conjugate)、旁心共軛(excenter conjugate)、透視旁心共軛(perspective excenter conjugate)

邊長旁錐線共軛(side length exconic conjugate)、邊長旁心共軛(side length excenter conjugate)、邊長透視旁心共軛(side length perspective excenter conjugate)

面積旁錐線共軛(area exconic conjugate)、面積旁心共軛(area excenter conjugate)、面積透視旁心共軛(area perspective excenter conjugate)

對稱旁點系統的外接錐線(circumconic of symmetric expoint system)、非對稱旁點系統的外接錐線(circumconic of asymmetric expoint system)

旁圓(excircle)、旁心(excenter)、透視旁心(perspective excenter)、旁半徑(exradius)

旁圓系統(excircle system)、旁心系統(excenter system)、透視旁心系統(perspective excenter system)、旁半徑系統(exradius system)

邊長旁圓(side length excircle)、邊長旁心(side length excenter)、邊長透視旁心(side length perspective excenter)、邊長旁半徑(side length exradius)

面積旁圓(area excircle)、面積旁心(area excenter)、面積透視旁心(area perspective excenter)、面積旁半徑(area exradius)

旁圓四重組(excircle quadruple)、旁心四重組(excenter quadruple)、透視旁心四重組(perspective excenter quadruple)、旁半徑四重組(exradius quadruple)

旁圓三重組(excircle triple)、旁心三重組(excenter triple)、透視旁心三重組(perspective excenter triple)、旁半徑三重組(exradius triple)

內圓(incircle)、內心(incenter)、透視內心(perspective incenter)、內半徑(inradius)

旁圓對(excircle pair)、旁心對(excenter pair)、透視旁心對(perspective excenter pair)、旁半徑對(exradius pair)

旁圓共軛(excircle conjugate)、旁心共軛(excenter conjugate)、透視旁心共軛(perspective excenter conjugate)、旁半徑共軛(exradius conjugate)

邊長旁圓共軛(side length excircle conjugate)、邊長旁心共軛(side length excenter conjugate)、邊長透視旁心共軛(side length perspective excenter conjugate)、邊長旁半徑共軛(side length exradius conjugate)

面積旁圓共軛(area excircle conjugate)、面積旁心共軛(area excenter conjugate)、面積透視旁心共軛(area perspective excenter conjugate)、面積旁半徑共軛(area exradius conjugate)